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一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩 2． 若

【答案】（C ） 【解析】设

3． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使

C. 存在可逆阵C 使【答案】D

【解析】

4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵

A. B. C. D.

D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B

则分块矩

的伴随矩阵为（ ）.

【答案】B 【解析】由题设

可逆，由于

且

所以

5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

从而否定A ,

若选

中选三个向量组

，

从而否定C ,

二、分析计算题

6． 设T 是n 维欧氏空间V 的对称变换. 证明：

【答案】设T 是非负对称变换，则

为其任一特征值且

但

故

使T 在此基下的矩阵对角矩阵，即有

又因为T 为对称变换，故存在标准正交基其中若每个则

为T 的全部特征值. 则对

令

因此，T 是非负对称变换.

7． 设方阵E+A可逆，

【答案】①由②由上可知：

即得.

证明：

8． 已知m 个向量

证明：（1

）如果等式

为0;

（2）如果存在两个等式

其中

则

【答案】（1）若么其余的

都不能等于0, 否则有

由上面（1）知，全不为0, 则由

假设矛盾，从而得证

（2）由于式成立. 若

则证毕. 否则总有一个k 不等于0, 不失一般设即全不为0.

全不为0. 再看如果得

9． 设A 、B 均为n 阶实正定矩阵，证明：

（1）如果A-B 正定，则

正定；

正定.

所以有

又已知A-B 正定，所以由于所以

显见，

故

正定.

（2）如果AB=BA，且A-B 正定，则

则③

其中

这与任意

那

线性相关，但其中任意

则这些

个都线性无关，

或者全为0，或者全不

个都线性无关的

【答案】（1）因为A 、B 均为n 阶实正定矩阵，则存在可逆阵P , 使