2017年华南师范大学数学科学学院813高等代数(数学)考研导师圈点必考题汇编
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一、选择题
1． 齐次线性方程组
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
【答案】C 【解析】若当C. 2． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知因此
线性相关，所以线性相关，故选A.
于是
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
使AB=0, 则（ ）
.
3． 设则3条直线
（其中
）交于一点的充要条件是（ ）
.
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出. 线性相关，故选D.
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 5． 设A ，B 为同阶可逆矩阵，则（ ）. A.AB=BA B. 存在可逆阵P ，使 C. 存在可逆阵C 使 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 D. 存在可逆阵P ，Q ，使PAQ=B 【答案】D 【解析】 二、分析计算题 6． 判断下列两个多项式有无重因式？再求其在有理数域Q 上的标准分解式： 【答案】即 用辗转相除法可得 故f （x ）有重因式. 又因为 故 与 是 的仅有的不可约因式. 再利用（综合）除法易知，X-4是f （x ）的单因式， ②利用辗转相除法，在有理数域Q 上可得 故g （x ）有重因式. 又易知 故g （x ）在Q 上的不可约多项式仅有都是 7． 用两种方法求 的逆矩阵. （1）用初等变换； （2）按A 中的划分，利用分块乘法的初等变换. （注意各小块矩阵的特点. ） 【答案】⑴ 与 利用多项式除法又进一步可知， 与 而x+1是.f （x ）的4重因式. 故f （x ）在Q 上的标准分解式为 的2重因式，故g （x ）在Q 上的标准分解式为
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