2017年华南师范大学心理学院813高等代数(数学)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
又
则（ ）•
【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得
即
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
即
分别为A ，B 的伴随矩阵，
由②有
为空间的两组基，且
3． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1 用排除法令
则
这时f （l ，1，1）=0，即f 不是正定的. 从而否定A ，B ，C. 方法2
所以当方法3 设
时，f 为正定二次型.
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当方法4令
时，A 的3个顺序主子式都大于0，则，为正定二次型，故选（D ）. 为任意实数 不等于0 为非正实数 不等于-1
则当（ ）时，此时二次型为正定二
所以f 为正定的. 4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似
则A 与B （ ）.
C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
5． 设A 是矩阵，为一非齐次线性方程组，则必有（ ）.
A. 如果B. 如果秩
则则
. 有非零解
有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】
秩
未知量个数，
二、分析计算题
6． 设为n 阶行列式
证明：
行列式
和（用N 表示）相等；
当D 为偶数阶反对称行列式时【答案】①由直接拆项可知：
将等号右边两个行列式都从第一列开始，每列都减去下一列，则二者的前n-1列相同，且由拆项（第n 列）性质知，其差就是
②由上题可知，
且行列式
由上即得M=N.
③此时JD 的主对角线上元素的代数余子式都是奇数阶反对称行列式，因而其值都为0; 而非主对角线上元素的代数余子式均有
即
因此N=0.故由（2）知：
即
列都与3的前
中元素~的代数佘子式.
的所有代数余子式的和（用M 表示）与
的所有代数余子式的