2017年华南理工大学数学学院864高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 设A 为4×3矩阵，常数，则
是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意
的通解为（ ）
【答案】C 【解析】由
于又显然有基础解系.
考虑到
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是非齐次线性方程
组，所以有解矛盾）
的三个线性无关的解，所
以从而
是
的一个
是对应齐次线性方程组（否则与是
的两个线性无关的解.
的一个特解，所以选C.
3． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
若选
从而否定A ,
若选
从而否定C ,
中选三个向量组
故选B.
4． 设n （n ≥3）阶矩阵
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1 B. C.-1 D.
故
但当a=l时，
5． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
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【答案】B 【解析】
二、分析计算题
6． 设T ，S 为线性空间V 的两个线性变换且
①②
【答案】①设故有因此，反之，设故②设故从而
因此，ST=S。同理，有TS=T 反之，设TS=T，ST=S.则任取故同理， 7．
设
雒欧氏空间的两个线性变换
都有【答案】由题设
任给则
令
在
的基
下的矩阵分别是A 和B ，证明
：
则存在正定矩阵P ，使故
则
故
则 即
任取
使
但因为同理，有
则任取
得
，有同理（S 与T 地位相当）
则任取
故
得
证明：
同理
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