2018年中国海洋大学数学科学学院617数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 给定曲面
（a , b , c 为常数）, 或由它确定的曲面z=z （x , y ）. 证明:
（1）曲面的切平面通过一个定点; （2） 函数z=z（x , y ）满足方程【答案】（1）因
及
与
不能同时为零, 得出
化简得
把它与过（a , b, c）点的切平面方程比较, 即知曲面z=z（x , y ）的切平面过定点（a , b , c ）. （2）对上式再求偏导数, 得
化简得
当
由函连续可微性, 知
2． 证明:
当
时一致收敛.
时, 即可看出
成立.
对x=a或y=b时也成立.
.
【答案】方法一
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对
而
关于x
单调递减, 且
所以当
时,
一致收敛于
0.
有
由狄利克雷判别法知
当方法二对
时一致收敛
作变换
即
, 则
由狄利克雷判别法知该积分收敛, 从而对递减且一致有界, 即
由阿贝尔判别法知, 当
3． 设数列
证明:
数列
【答案】因为收敛准则知, 对任意的
于是
由柯西收敛准则知
,
4．
设f 为
收敛.
时
一致收敛. 该积分一致收敛
, 又
关于x 单调
满足:存在正数M , 对一切n 有
都收敛.
, 又
存在正整数N , 当
所以时, 有
是单调有界数列, 故
收敛. 由柯西
上的奇（偶）函数. 证明
:若f 在
则
上增, 则f 在上增（减）. , 并且
于是
【
答案】设
如果f 为奇函数, 则 即f 在
上为增函数. 如果f 为偶函数, 则
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即f 在上为减函数.
5． 设函数f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续, 在（a , b ）内可导, 且
求证:如果
严格单调增加, 则
,
和
都严格单调增加. 【答案】
不妨设
定理, 存在
使得
又因为
严格单调增加, 所以
从而
从而
6． 设f （x ）在[a, b]上连续, 证明不等式量函数时成立.
【答案】
其中
若等号成立, 则对任何即
、 , 有
,
所以f （x ）=f（y ）, 即f （x ）为常量函数.
, 其中等号仅在f （x ）为常
严格单调増加. 同理可证
单调增加.
（否则用
分别代替f （x ）, g （x ））, 根据柯西中值
二、解答题
7． 求下列函数在指定点处的泰勒公式:
（1）（2）
在点（0, 0）（到二阶为止）；
在点（1，1）（到三阶为止）；