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一、证明题

1．

设

在

上可微,

且对于任何

有

求证:对任何正整数n ,

有

其中M 是一个与x 无关的常数.

【答案】由定积分的性质及积分中值定理有

其中

又因为

在

上可微, 所以由微分中值定理可知, 存在

使得

因此

2． 证明:若致地成立, 即对任意

【答案】先证由于

.

又由于f （x , t ）对任何因此对从而

即

收敛.

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在时一致收敛于F （x ）. 且

收敛.

对任何对一切

成立, 则有

一

存在M>0, 当x>M时,

在时一致收敛,

因此任给

一致收敛于

,

存在N ,

对一切

,

和一切,

都有

, 存在X , 对一切x>X和都有

再证考虑

由一致收敛于F （x ）知, 任绐存在N 1, 对一切A> N1和一切

有

由由从而有

收敛, 对上述

取

存在N 2, 对一切A> N2, 有

, 对

, 存在X , 对一切x>X和t , 有

综合上述, 对任给的存在x , 对一切x>X, 有

3． 设f 在[a, b]上三阶可导, 证明存在

【答案】令

, 使得

则F （x ）, G （x ）在又因为

上满足柯西中值定理的条件, 于是存在

, 使得

所以

在区间使得

上对函数

由

可得

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应用柯西中值定理可得, 存在,

因此

4． 证明:若函数

且则在

在区间[a, b]上连续,

内至少存在一点, 使得

在区间

上有最大值M , 最小值m , 不妨设

.

则对

由闭区间上连续函数的介值定理, 可知在

内至少存在一点, 使得

当

5． 证明:含参量反常积分收敛.

【答案】 （1）令

有

根据定义,

.

取

有

（2）取

, 对于任意N>1,

取

, 使得

在

上一致收敛（其中

）, 在

内不一致

时, 取

即可.

【答案】设函数

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