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一、证明题

1． 利用施瓦兹不等式证明:

（1）若f 在[a, b]上可积, 则

（2）若f 在[a, b]上可积, 且

, 则

（3）若f , g 都在[a, b]上可积, 则有闵可夫斯基（Minkowski ）不等式:

【答案】（1）根据施瓦兹不等式, 有

（2）由f （x ）可积, 且式, 有

（3）由施瓦兹不等式, 得

故

2． 设f 为

上的奇（偶）函数. 证明:若f 在

则

上增, 则f 在

上增（减）. , 并

且

于

是

,

知

可积, 从而_

|

可积, 于是根据施瓦兹不等

【答案】

设

如果f 为奇函数, 则

即f 在即f 在

上为增函数. 如果f 为偶函数, 则

上为减函数.

3． 设

当当即

. 求证:

时,

时, 结果显然成立.

在区间上一致连续. 上显然一致连续.

【答案】当

时, 利用一个显然成立的不等式:

可导出:

有

因此, 取因此, 4． 若

（1）

, 级数

发散,

. 于是当

在

设时, 有

, 令, 则

。

上一致连续.

, 证明: •收敛. （固定）, 取适当大, 可使

. 由于, 于是有

,

发散; （2）

【答案】（1）用柯西准则 取

所以对固定的N , 存在

趋向于

由柯西准则知, 级数（2）因为

, 所以

发散.

而级数

5． 证明:当

【答案】因为

所以

收敛于时

, 故收敛.

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二、解答题

6． 设f （x ,

y

）是区域

问极限【答案】令

.

上的有界k

次齐次函数（k ≥1）， 是否存在? 若存在

，试求其值.

由于f （x , y ）是区域上的有界k 次齐次函数，

7．

设函数（f x ）

在

只要对固定的故对上述则当nN 时

, 有

, 记n=[x]2N, 因为

即

由式（

1）, 有

, 故

, 使得

.

再由式（2）, 有

艮

P

本题亦可用反证法予以答: 若结论不对, 则存在记

由f （x ）在只要

就有, 则

, 对. 由

, 相应地存在或

上一致连续可知, 对上述

, 使得

的有界性知

, 它存在一个收敛子列, 不妨设为它本身, 满足

,

上一致连续, 且就有

, 取

且为正整数, 将[0, 1]区间k

等分.

记分点

由已知条件,

对每个

,

当nN 时, 有

. 令

有

,

,

,

有

. 试证:（n 为正整数）

,

,

【答案】因为f （x ）在上一致连续, 所以

则每个小区间的长度

于是, 当n 充分大时, 有

9

从而有