2018年湘潭大学数学与计算科学学院601数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1． 将函数
在【答案】
故f （x ）在
的傅里叶级数为
由收敛定理知, 它收敛于
上展开为傅里叶级数, 并指出傅里叶级数所收敛的函数.
2． 设函数p （x ）在[a, b]上非负连续, f （X ）, g （x ）在[a, b]上连续单调增加, 则
【答案】用重积分来证明. 考察差
交换积分变量x 与y 的位置, 仍然有
于是有
从而原不等式成立.
3． 求下列圆环L 的质量, 已知圆环L 为
【答案】圆环L 的质量为
, 线密度为
, 注意到在L 上时, 有
因此只需求
其中S 为圆环的长度.
事实上,
此圆环为单位圆上的大圆,
因此其周长为
综上所述
, 圆环
L
的质量为.
4
． 将函数
【答案】记
展开为傅氏级数.
, 因为f （x ）是奇函数, 所以
, 且
即得
5． 设
【答案】由
又
.
求的定义域和解得
从而
的定义域为
6． 试给出函数f 的例子, 使性有矛盾吗?
【答案】令
在实数集R 上
恒成立. 但
.
, 这与极限的局部保
恒成立, 而在某一点
处有
这同极限的局部保号
号性不矛盾. 因为函数极限的局部保号性定理的题设要求
7．
试问k
为何值时, 下列函数列一致收敛
:
（1）（2）
【答案】（1）由又所以
因此当k （2）当 x=0时 , 当则 时, 只要 为就有 上一致收敛. , 则f （x ） =0, 故 的极限函数. , 故 在 , 设时取得 则 上的最大值, 从而 所以k 8． 在区间Riemann 可积性. 【答案】f 于（1）显然知 上是Riemann 可积的. 证明如下: 上, 函数定义为试讨论f （x ）在[0, 1]上的
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