2018年四川师范大学数学与软件科学学院625数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、综合题
1． 将
【答案】令
按
的幂展开成幂级数. , 则
因此
因为当-1 即得 2． 求内摆线 , 亦即x>0. 所围图形的面积（图） . 图 【答案】所围图形的面积为 3． 试求下列方程所确定的函数的偏导数 （1）（2） 所以 同理两边对y 求偏导数得 第 2 页，共 27 页 【答案】（1）把u 看成x , y 的函数, 两边对x 求偏导数, 得 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ （2）两边对x 求偏导数有 所以 两边对y 求偏导数, 得 故 4． 计算 【答案】设球面 其中S 是球面 并取外侧为正向. 所围成的区域为V , 则由GauM 公式知 由对称性知 , 故有 5． 求 【答案】由上的最值问题. 令当当 6． 设 （1）求证:【答案】（1）令 第 3 页，共 27 页 在区域D 上的最大值和最小值. =0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）, 则 或或 即即 或时, z=f （x , y ）取最大值或 时, z 取最小值 . ; 将其与f （0, 0） =0进行比较知, 所求函数的最大值为 , ; . , 最小值为. （2）f （r ）是什么函数时, 专注考研专业课13年，提供海量考研优质文档！ 则 同理 所以 （2） 要使 只要 所以 （c 为任意常数）时 7． 试举例说明:在有理数集内, 确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不能成立. 【答案】（1）设 （2）由的不足近似值形成数列（3）设M 是由数集内不成立. （4 ）时 , 的不足近似值形成的数 列 但其极限是 , 而 满足柯西条件（因为当m , n>N 不是有理数, 于是这个满足柯西条件的数列在有理数集内没 , 则S 是有界集, 并且 但 故 有理数集S 在Q 内无上、下确界, 即确界原理在有理数集内不成立. 这个数列是单调有上界的, 2是它的一个上 界. 它的上确界为于是它在有理数集内没有上确界. 因此, 单调有界原理在有理数集内不成立. 的所有不足近似值组成的集合. 则1.4是M 的一个下界, 2是M 的一个上界. , 故在有理数集内不存在聚点. 因此, 聚点定理在有理 即M 是一个有界无限集, 但它只有一个聚点 有极限. 因此, 柯西收敛准则在有理数集内不成立. 8． 求下列函数带佩亚诺型余项的麦克劳林公式: （1）（2）⑶ 5 到含x 的项； 到含x 的项. 第 4 页，共 27 页 5
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