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一、证明题

1． 利用

【答案】因为

为递增数列的结论, 证明

为递增数列, 所以

即

从而

所以数列

是递增数列.

为递增数列.

2． 求x>0, y>0, z>0 时, 函数

在球面

上的极大值; 并证明当a , b, c为正实数时, 有

【答案】构造拉格朗日函数

令

解出驻点为x=r,

下面来判断这个驻点为极大值点. 由

可得L 在驻点P 0处的海森矩阵

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显然H （P 0）负定, 故驻点为极大值点, 而且极大值为, 因为f 在球面.

到当动点趋向于边界线（其上x ,

y , z之一为0）时

, 即

当x>0, y>0, z> 0且满足取

两边平方, 即得

3． 证明:若f 在点x 0连续, 则必连续？

【答案】因为f （x ）在

点x 0连续, 所以对任给的时,

（1）由不等式故（2）由（3）当

. 即

知, 由在点x 0连续.

在点x 0连续.

时,

, 而|f|在x 0连续, 故

存在

与也在点x 0连续.

又问:

若, 上式变为:

时, 有

.

故f 的最大值只能在内部取到, 而内

,

位于第一卦限的部分上连续, 所以f 必在其上取到最大值. 注意

部有唯一的极大值点, 因此这个极大值点也必是最大值点, 且最大值为

或在Ⅰ上连续,

那么f 在Ⅰ上是否

, 使得当

或在I 上连续时, f 在I 上不一定连续. 例如, , 则与为

常值函数, 在R 上处处连续, 但f （x ）在R 上处处不连续.

4． 给定曲面

（a , b, c

为常数）,

或由它确定的曲面z=z （x , y）, 证明:

（1）曲面的切平面通过一定点; （2）函数z=z （x , y）满足方程【答案】（1）由

及F 1, F 2不能同时为零, 可得

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化简得

由此可以看出, 曲面z=z （x , y ）的切平面过定点（a , b, c ）. （2

）对上式两边再分别关于x , y 求偏导, 得

即

由此可见, 当

5．

设列.

【答案】

因为取M=l,

则

是无界的,

所以对,

使得

则,

则

因此

取N=l, 则

, 使得. , 则则

于是得一有界子列

, 使得, 使得

, 由致密性定理知,

中存在收敛子列.

,

; , 使得,

使得

不是无穷大, 所以

, 对任意正整N ,

, 使得

, 使得

时, 等式成立. 由函数连续可微知, 对x=a或y=b时等式仍成立.

是一个无界数列

, 但非无穷大量. 证明:

存在两个子列, 一个是无穷大量

, 另一个是收敛子

为无穷大量

.

因数列

二、解答题

6．

求

【答案】由上的最值问题.

令

, 则

在区域D 上的最大值和最小值.

=0.再考虑边界, 且f （0, 0）得稳定点为（0, 0）