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一、证明题

1． 设

是来自

的样本,

为其次序统计量, 令

证明【答案】令作变换

其中

函数为

该联合密度函数为可分离变量, 因

而

2． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

3． 设总体X 的均值为方差为

线性无偏估计量. 证明：与T 的相关系数为

【答案】由于于是

而

故有

从而

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相互独立.

则

的联合密度函数为

其雅可比行列式绝对值为, 联合密度

相互独立,

且

是来自该总体的一个样本，

其中为的任一凸

为的线性无偏估计量，故

4． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为

, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为

【答案】设取自同一总体的两个样本为由

得

由

得

5． 设（

【答案】

）是充分统计量.

的联合密度函数为

注意到

是已知常数, 令

取

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,

样本方差分别为

证明:

, 诸独立, 是已知常数, 证明

由因子分解定理, （）是（）的充分统计量.

利用此结果计

6． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算

【答案】

由此得

7． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，

（II

）设（III ）证明故得X 的概率密度为

（II

）设

为样本

的观测值，则似然函数为

设Z=X-Y。

为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。

（I ）求Z 的概率密度

其中是未

的最大似然估计量；

【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且

令故

的最大似然估计量为

解得

故

的无偏估计量。

（III

）由于

8． 设

则

为独立的随机变量序列, 证明:若诸服从大数定律.

的方差一致有界, 即存在常数c 使得

【答案】因为

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

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