2017年中国海洋大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1． 设随机向量（
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
2． 验证：泊松分布的均值λ的共轭先验分布是伽玛分布.
【答案】泊松分布的概率函数为数为
对来自泊松分布
的样本
的后验分布为
若的先验分布为伽玛分布，其密度函
两两不相关.
两两不相关, 则由上面的推导可知
【答案】充分性:若
）间的相关系数分别为
且
即的后验分布为仍为伽玛分布，这说明伽玛分布是泊松分布的均值的
共轭先验分布.
3． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p ，证明：此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明：Y 服从参数为
4． 设
【答案】因为离散场合,
当
时, g （y ）以概率
. 取
由于在Y 取固定值时,
上式对Y 的任一取值都成立, 即
场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
5． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为
所以
即X 与Y 不相关.
6． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
的泊松分布.
, 它仍是随机变量. 在
存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
也是常数, 故有
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
则X 与Y 有函数关系. 试证:X
, , 且X 与Y 相互独立, 令
所以
因为X 与Y 相互独立, 所以
由此得
7． [1]设随机变量
[2]设
【答案】利用变换
，求
，证明：
及偶函数性质可得
[2]在题[1]中令
即可得结论.
, 且X 与Y 独立,
则
8． 试用特征函数的方法证明/分布的可加性:若随机变量
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是
分布
的特征函数, 由唯一性定理知
二、计算题
9． 写出下列随机试验的样本空间：
（1）抛三枚硬币； （2）抛三颗骰子；
（3）连续抛一枚硬币，直至出现正面为止；
（4）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，放回后再取出一个；（5）口袋中有黑、白、红球各一个，从中任取两个球；先从中取出一个，不放回后再取出一个.
【答案】
⑴共含有
（2）
（3）（4）（5）
个样本点，其中0表示反面，1表示正面，（3）中的0与1也是此意.
共含有
个样本点.
共含有可列个样本点.
{黑黑，黑白，黑红，白黑，白白，白红，红黑，红白，红红}. {黑白，黑红，白黑，白红，红黑，红白}.
10．设总体X 服从N （0, 1）,
从此总体获得一组样本观测值
（1）计算x=0.15（即（2）计算
处）的
在x=0.15的分布函数值.