2017年中国海洋大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，
（II
）设（III ）证明故得X 的概率密度为
（II
）设
为样本
的观测值，则似然函数为
令故
的最大似然估计量为
解得
故
的无偏估计量。
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。
的最大似然估计量
；
（I ）求Z 的概率密度
其中是未
【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且
（III
）由于
2． 对任意的事件A ，B ，C ，证明：
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
3． 设
【答案】因为离散场合,
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存在, 试证:
是随机变量Y 的函数, 记
, 它仍是随机变量. 在
当时, g （y ）以概率. 取由于在Y 取固定值时,
也是常数, 故有
上式对Y 的任一取值都成立, 即场合有E （h （Y ）|Y）=h（Y ）.
4． 证明:对任意常数c , d , 有
【答案】
由
得
因而结论成立.
5． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则
【答案】记这正是二项分布
因为
的特征函数, 由唯一性定理知
,
样本方差分别为
, 且X 与Y
. 在连续场合也有类似解释, 所以在一般
所以由X 与Y 的独立性得
6． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为
, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
证明:
由
得
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7． 设随机向量（
令
证明:
两两不相关的充要条件为
则
同理可得
由此得必要性:若由此得
8． 设连续随机变量X 的密度函数P （X ）关于c 点是对称的，证明：其分布函数F （x ）有F （c-x ）=1-F（c+x）
，
由
对上式右端积分作变量变换y=c-t，则
再对上式右端积分作变量变换z=c+y，则
结论得证.
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）间的相关系数分别为且
【答案】充分性:若
两两不相关.
两两不相关, 则由上面的推导可知
【答案】由p （x ）关于c 点是对称的，知