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一、证明题

1． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：

其中

平方和之间的关系；

（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：

所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为

在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出

然后再据此给出

总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为

（2）由（1）的结果我们知道数据得到的F 检验统计量的值保持不变.

即说明了由原始数据和变换后

它们的关系为

是适当选取的常数.

（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差

2． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明：

【答案】由于其中

代回原式即得证.

3． 设时,

为一独立同分布的随机变量序列, 已知

近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.

【答案】因为

为独立同分布的随机变量序列, 所以

也是独立同分布的随机变量序列.

试证明:当n 充分大

存在，所以级数

绝对收敛，从而有

根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为

4． 设（

【答案】

）是充分统计量.

, 诸独立, 是已知常数, 证明

的联合密度函数为

注意到是已知常数, 令取

由因子分解定理, （

）是（

）的充分统计量.

5． 设随机变量序列独立同分布, 其密度函数为

试证:

当

„所以, 对任意的

时,

有

, 当

其中常数而当时, 有

, 令

时,

有

【答案】因为当x<0时,

有

所以有结论得证.

6． 设二维随机向量（X , Y ）服从二维正态分布, 且

证明:对任意正常数a , b 有

【答案】记

则

由条件知p<0, 所以

由此得

令

则

所以

其中

又由

知

这就完成不等式的证明.

7． 设二维随机变量

服从二元正态分布, 其均值向量为零向量, 协方差阵为

是来自该总体的样本, 证明:

二维统计量

该二元正态分布族的充分统计量.

是