2017年中国矿业大学(徐州)矿业工程学院827数理统计考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设明:统计量
（1）若函数
也存在. 于是其中（2）若（0,
, 当
则
时,
）上取值, 所以当
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （x ）是连续严增函数, 证
服从
这是因为F （x ）的反
当
时, 有
这是参数为1的指数分布函数, 也是自由度为2的（3）由与（2）可知
2． 设总体μ，则
即
将（*）式两端对H 求导，并注意到
有
这说明
即
于是
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【答案】分几步进行:
且F （x ）为连续严增函数, 则
的分布函数为
所以
仅在
（2）. 这是由于y 仅在（0, 1）上取值, 故
分布函数, 即（2）. 相互独立, 由（1）
的相互独立性可导致
为样本，证明，
分别是
的无偏估计，设
分别为
是0的任一无偏估计，
的UMVUE. 【答案】大家知道：
从而的UMVUE.
为证明的UMVUE ，我们将（**）式的两端再对求导，得
由此可以得到的项，有
下一步，将（*）式两端对求导，略去几个前面已经指出积分为0
这表明这就证明了
由此可得到的UMVUE.
个
因而
3． 设罐中有b 个黑球、r 个红球，每次随机取出一个球，取出后将原球放回，再加入同色的球. 试证：第k 次取到黑球的概率为
【答案】
设事件设
则显然有
则由全概率公式得
把k 次取球分为两段：第1次取球与后k-1次取球. 当第1次取到黑球时，罐中增加c 个黑球，这时从原罐中第k 次取到黑球等价于从新罐（含b+c个黑球，r 个红球）中第k-1次取到黑球，故有
类似有
所以代入（1）式得
由归纳法知结论成立.
4． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
都服从区间（0，1）
下用归纳法证明.
为“罐中有b 个黑球、r 个红球时，第i 次取到是黑球”，
记
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即
5． 设
又
由
知
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证. 相互独立, 服从
证明:
【答案】令
, 则
再令
, 则
令
相互独立, 且
服从
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式, 可得
因为,
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
相互独立, 且
服从
则X 与Y 有函数关系. 试证:X
6． 设随机变量X 服从区间（一0.5, 0.5）上的均匀分布, 与Y 不相关, 即X 与Y 无线性关系.
【答案】因为
所以
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