2017年华中科技大学数学与统计学院801高等代数考研冲刺密押题
● 摘要
一、选择题
1． 设
则3条直线
（其中
【答案】D 【解析】令其中
则方程组①可改写为
则3条直线交于一点
线性无关，由秩
方程组①有惟一解
）交于一点的充要条件是（ ）
.
由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出，
从而
可由线性表出.
2． 设n （n ≥3）阶矩阵
线性相关，故选D.
若矩阵A 的秩为n-1, 则a 必为（ ）. A.1
B. C.-1
D.
【答案】B
但当a=l时， 3． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
则A 与B （ ）.
所以A 的特征值为3，3，0；而
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式得
则A 与B （ ）.
使
因此A 与B 合同. 5． 若都是4维列向量，且4阶行列式
【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得
二、分析计算题
6． 设A 是数域K 上的一个m ×n , 矩阵，B 是一个m 维非零列向量. 令
（1）证明：W 关于的运算构成的一个子空间；
（2）设线性方程组AX=B的增广矩阵的秩为r. 证明W 的维数（3）对于非齐次线性方程组
求W 的一个基. 【答案】（1）显然
因为存在
使
又
所以
即
此说明W 是
的子空间.
由题设，其解空间V 的维数
为
存在的解.
显然，这是W 形到V 的一个双射.
又
则
所以
且
可见W 与V 同构，从而有
使
所以
是线性方程组
（2）对线性方程
组
任取
这样，存在W 到V 的映射
，
存在
使
（3）由（2）W 与如下齐次线性方程组解空间同构.
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