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一、选择题

1． 下面哪一种变换是线性变换（ ）

.

【答案】C

【解析】

，而

2． 设线性方程组

不一定是线性变换，

比如

不是惟一的.

的解都是线性方程组

的解空间分别为

均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则

矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.

则

有

由上述知因此 4． 设

A. 合同且相似

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.

则也不是线性变换，

比如给

的解，则（ ）。

则

所以

【答案】（C ） 【解析】设即证秩 3． 设

A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则

线性无关时，若秩

线性相关. 由此可否定C ，D. 又由

线性无关，

线性相关，所以线性相关，故选A.

于是

则A 与B （ ）.

B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

使

因此A 与B 合同.

5． 设向量组线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）

【答案】C 【解析】方法1:令

则有

由

线性无关知，

该方程组只有零解方法2:对向量组C ，由于

从而

线性无关，且

因为

所以向量组

线性无关.

线性无关.

二、分析计算题

6． 记

为实数域R 上n 维标准欧几里得空间，A 为实数域R 上的一个II 阶方阵，

证明：

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【答案】所以设故

即贝U

于是

由

故

则

因为

由

综上所述得

7． 证明：实二次型f

是半正定的充要条件是f 的秩=正惯性指数.

【答案】设f 的秩=正惯性指数=r.则.f 可经过实满秩线性代换X=CY化为

从而对任一组不全为0

的实数由X=CY

得即有相应不全为0

的实数

使

因此，f 是半正定的.

反之，设f 为半正定的，则f 的负惯性指数必为零. 否则f 可经过实满秩线性代换X=CY化为

其中s

这与f 是半正定二次型矛盾. 因此，f 的负惯性指数必为零，即f 的秩=正惯性指数.

8． 设

证明：

【答案】（1）任

意

. 即这就证明了（2）任意对

由

显然有

自然有

则

有

即有故

又对时总有

即

有

故

故

又

若

由

则

有

故

而其余

时，由X=CY所得相应的不全为0的实数

代入（3）

9． 设A , B 为n 阶方阵，

且

【答案】由于E-A-B 可逆，所以有

可逆，证明：rankA.=rankB..

因此有

又因为所以

由式（1）、式（2）得

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所以A （E-A ）=0, 故有