2017年济南大学数学科学学院881高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设
是非齐次线性方程组
的两个不同解，
是
的基础解系，
为任意常数，
则Ax=b的通解为（ ）•
【答案】B 【解析】因为中
不一定线性无关. 而
由于
因此
线性无关，且都是
的解.
的特解，因此选B.
分别为A ，B 的伴随矩阵，
所以
因此
不是
的特解，从而否定A , C.但D
故是的基础解系. 又由知是
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
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即
3． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 4． 设 其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 5． 设 =（ ）. 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则3条直线 （其中 ）交于一点的充要条件是（ ） . 第 3 页，共 42 页 【答案】D 【解析】令其中 则方程组①可改写为 则3条直线交于一点 线性无关，由秩 方程组①有惟一解 由秩A=2, 可知可知线性相关，即可由线性表出， 从而 可由线性表出. 线性相关，故选D. 二、分析计算题 6． 求 其中 【答案】设. 为A 的特征多项式， 则 令 由①式得 再令 . 由①得 再由①有 在③式中令 得b=0.于是 在④式中，令 得 将 代入②得 再由①式得 7． 设 其中求 第 4 页，共 42 页