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一、选择题

1． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有

B （E-A ）=E.

又C （E-A ）=A，故

（B-C ）（E-A ）=E-A.

结合E-A 可逆，得B-C=E.

2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.

A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C

【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有

又

所以有

即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*

解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此

即

分别为A ，B 的伴随矩阵，

3． 设A 为4×3矩阵，常数，则

是非齐次线性方程组的3个线性无关的解，为任意

的通解为（ ）

【答案】C 【解析】由

于又显然有基础解系.

考虑到 4． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵

其中

故A 〜B. 再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式得

则A 与B （ ）.

是

的一个特解，所以选C.

（否则与

是非齐次线性方程

组，所以有解矛盾）

的三个线性无关的解，所

以从而

是

的一个

是对应齐次线性方程组

的两个线性无关的解.

使

因此A 与B 合同.

5． 若都是4维列向量，且4阶行列式

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和，由性质得

6． 设

证明：①若

二、分析计算题

为整系数多项式.

是f （x ）的整数根，则

②若既约分数v/u是f （x ）的根，则对任意整数整除f （k ）. 【答案】①因为则

由于即知

故可得上面式（3）（但把改为

）且

其中为整数. 于是

令x=k代入上式后再两端乘以即得

故

7． 设

但因为

故

从而

及

都是整数，故

设

都是整数（或直接利用“若

, 代入（3）

是整系数多项式且g （x ）是本原的，则h （x ）必为整系数多项式. ”这一定理）. 令

是线性空间V 上的可逆线性变换

的特征值一定不为0;

特征值，那么

是

的特征值.

（1）证明：

（2）证明：如果1是【答案】（1）设

的特征值就是A 的特征值. 由于

A 有特征值为零的充分必要条件是IAI=0.故可逆时即A 可逆时，它的全部特征值皆不为零. （2）设

是，由（1）

即

是

a

是属于的特征向量，的特征值，则

乘它的两边，则得

的特征值.

两边用

去作用它，则[

.

再用

在某基下的矩阵A ，则