2018年西安财经学院统计学院601理学数学之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:
【答案】
2． 设存在，且N 与
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
所以
3． 若
【答案】因为
，证明:
.
•，所以得
由此得
结论得证.
4． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，结论成立.
5． 对于组合数
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
是该二元正态分布族的充分统计量.
，证明:
；
【答案】（1）等式两边用组合数公式展开即可得证. （2）因为
（3）因为
（4）因为
所以
（5）设计如下一个抽样模型:一批产品共有a+b个，其中a 个是不合格品，b 个是合格品，从中随机取出n 个，
则事件=“取出的n 个产品中有k 个不合格品”的概率为
由诸互不相容，且
得
把分母移至另一侧即得结论.
注:还有另一种证法:下述等式两端分别展开
可得
比较上式两端的系数即可得
（6）在（5）中令
，则得
再利用（1）的结果即可得证.
6． 设
分别是
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
于是
►
证明:对任意的（非零）常数【答案】由于满足
，分别是
，由判断准则知
，且对任意一个
，
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