2018年西安财经学院统计学院801统计学综合之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 利用特征函数方法证明如下的泊松定理:设有一列二项分布
则
【答案】二项分布因为而
所以当
的特征函数为
时，
则
正是泊松分布的特征函数，故得证.
在区间
上服从均匀分布.
代入函数
2． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
其中
若
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
3． 设
分别是
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
的UMVUE ，
是的UMVUE ，故
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证明:对任意的（非零）常数【答案】由于
，分别是
，且对任意一个
，
满足，由判断准则知于是
►
因此 4． 记
是的UMVUE.
证明
【答案】
由
得
5． 若因为
所以有
6． 设
即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
»
即
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，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
.
，从而得
，又
【答案】因为
，即得，求
.
的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，
将式两端对求导，并注意到，有
这说明我们将
，即.
式的两端再对求导，得
由此可以得到，记
.
则
9
从而，进一步， 7． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
在给定
后，对任意的一个样本
有
是来自几何分布
的样本，证明
是充
为
的UMVUE.
，C-R 下界为.
故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这n 个
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
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