2018年西安财经学院统计学院601理学数学之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 证明下列事件的运算公式:
（1）（2）
【答案】（1）右边=（2）利用（1）
有
=左边. , 所以
存在，证明:对任意的
，
2． 设g （X ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且
有
【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则
注:此题给出证明概率不等式的一种方法两次放大:第一次放大被积函数；第二次放大积分区域.
3． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
在区间上服从均匀分布.
代入函数
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
第 2 页，共 43 页
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
4． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
独立同分布，且
令
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
试证明:
其中c 为常
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
5． 设X 为非负随机变量，a>0.
若
【答案】因为当a>0时
，
存在，证明:对任意的x>0,
有
是非负不减函数，所以由上题即可得结论.
.
利用此结果计算
有
6． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
7． 设
即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
»
即
第 3 页，共 43 页
，求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，
将
式两端对求导，并注意到
，有
这说明我们将
，即
.
式的两端再对求导，得
由此可以得到，记
则
9
从而，进一步，
8． 设随机向量
【答案】记标准化变量为
因为考虑到
故
所以
的协方差阵的行列式为
再由协方差阵的非负定性，可得
移项即得结论.
为
的UMVUE.
，C-R 下界为.
.
故此UMVUE 的方差达不到C-R 不等式的下界.
间的相关系数分别为
证明:
二、计算题
9． 设需要对某正态总体的均值进行假设检验
已知
取
若要求当
中的
时犯第二类错误的概率不超过0.05, 求所需的
第 4 页，共 43 页