2018年西安财经学院统计学院801统计学综合之概率论与数理统计教程考研核心题库
● 摘要
一、证明题
1． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
2． 设
证明:
与
是偶函数，从而
的密度函数
关于
对称，
与
分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
与
的容量为
的样本中位数是
证明
的密度函数关
为独立随机变量序列，且
服从大数定律.
相互独立，且
所以
【答案】因为
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
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服从大数定律.
3． 证明:对正态分布，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
似然估计不存在.
4． 用概率论的方法证明:
【答案】设故
服从参数
为独立同分布的随机变量序列，其共同分布为参数
又由泊松分布的可加性知，
的泊松分布. 由林德伯格-莱维中心极限定理知
5． 对任意的事件A , B ，C , 证明:
（1）（2）【答案】⑴
（2）因为
所以
6． 设随机变量X
有密度函数Y=与
不相关、但不独立. 【答案】因为
不相互独立，特给定
使得
所以X 与
7． 若
【答案】因为
不独立. ，证明:
.
•，所以得
由此得
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的泊松分布
.
9
且密度函数所以
是偶函数，假定
这表明:X 与
现考查如下特定事件的概率
证明:X 与不相关.
为证明
结论得证.
8． 证明:若
由此写出独立，
因此F 变量r 阶矩为
由
容易算得
与
则当
其中
且v 与W 相互
时有
【答案】由F 变量的构造知
不存在.
从而可得当
时，只要
就有
在其他场合，
当
时，只要
就有
二、计算题
9． 设
是来自
的一个样本，对如下的检验问题
已给出拒绝域
（1）求此检验的势函数；
（2）若要求检验犯第一类错误概率不超过0.05（即（3）若在（2
）的要求下进一步要求检验在
）. 如何确定c?
处犯第二类错误的概率不超过0.02（即
，其中
为样本的最大次序统计量.
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