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一、证明题

1． 设

且

试证

因此

又因

为

于是有

由柯西收敛准则，得

2． 设

相应产生序列又由

于

但是由

结论成立.

3． 证明：定义在对称区间(-1，1) 内的任何函数之和的形式，且这种表示法是唯一的.

【答案】令

则

下证唯一性. 若还存在偶函数

和奇函数

满足

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在上连续，又有函数列

在当

在

上也一致收敛.

在

且

在上一致收敛，

【答案】由一致连续性定理可知上也一致连续.

时，有

有

上一致收敛，由柯西收敛准

则

在且

上一致收敛.

求证

：

对

于

且

使

得

【答案】用反证法假设结论不成立，那

么

满足

推

知

使

得

于

是

即得矛盾，故反证法假设不成立，即

必可以表示成偶函数与奇函数

且容易证明是偶函数，是奇函数.

则有

用式有

再代入①式可得

由①+②可得

4． 证明:若函数f 在区间上处处连续，且为一一映射，则f 在上严格单调.

【答案】用反证法. 先证明f 在上是单调的. 若不然，

则至少存在三个点

满足

但而

上应用介值定理，则存在

和

而

由

于f 是一一映射，所以上述不等式为严格的，即

注意到f 在上连续，对f 分别在区间和

使得

再证明f 在上是严格单调的.

不妨设f 在上是单调递增的，则对任意的，故必有

5． 设

【答案】

所以

6． 设

(1) 在(ii )

在试证明【答案】先证明条件(ii ) ，存在

因此，当令不妨设

由条件(i ) 得

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这与f 是一一映射相矛盾，所以f 是单调的.

有

注意到在上是一一对应

这表明f 在上是严格单调的.

证明：

点

的某邻域

上，对每个时，对所有

只要

存在. 当

时，且

时，且

有

根据柯西准则，可证

存在.

就有

上有定义，且满足： 存在极限

都有

(即对任

意

成立) .

存

在

当

上，关于一致地存在极限

-

下面证明对于

因为且

利用(ii ) 及前面的结论，当

充分接近时，可使

当所以

时，有

再将y 固定，由条件(i ) ，存在

因此

即

_

二、解答题

7． 计算曲线积分

其中L 是从点(a ，0, 0) 沿着以下曲线到点(0, 0, c ) 的路径：

【答案】方法一(用参数方程求解) 从

中解出

令

则

由于

并注意到椭圆心在

处，所以

故

方法二(选取z 作为参数) 曲线L 的参数方程为

于是有

代入椭球面方程整理可得

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