当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明

:

【答案】

故

2． 按

(1) (2) (3)

【答案】(1)

对任意

由

则当

时

.

(2) 因为

所以

对任意

由

得

取

则当故

(3) 当n 为偶数时，

当n 为奇数时，

第 2 页，共 30 页

定义证明：

故

时，

对任意

取则当

的函数，当

时，

时满足

故

3． 令f 是R 上周期为

(1) 证明f 的傅里叶级数具有形式并写出的积分表达式. (2) 该傅里叶级数是否一致

且

收敛？若是，请给出证明；若不是，请说明理由. (3) 证明

【答案】(1) 由于

.

(2) 不一致收敛. 由傅里叶级数收敛定理知

由于(3) 由干

在

上连续，但和函数在

是奇函数，所以f 的傅里叶级数具有形

另

上不连续，所以该傅里叶级数不一致收敛.

上可积且平方可积，所以Parseval 等式成立

4． 应用函数的单调性证明下列不等式：

【答案】(1) 令

则

所以f (x ) 在

(2) 先证明

增. 又因为f (x )

在

则

因此

所以当

(3) 令

则

第 3 页，共 30 页

内严格递增. 又因令

连续，

所以

则

在连续，所以当时

于是在

内再证

的符号，

令

故严格递

令

则

连续，

故

连续，

即

为了确定

因此h (x )

在于是，g (x )

在故当

时

内严格递减. 又因h (x )

在内严格递减，又因为g (x ) 在

时

所以当

时，

由此可得，

5． 证明：若在则有

【答案】

设分点的任何取法，只要

上可积，在

则由定积分定义，

对任给的

就有

由

现设

在由于

时，恒有

和

对于

上对

令

上的任何分割

用拉格朗日中值定理，得

，则

得从而当

的一个分

割时(此时

且

故

即

第 4 页，共 30 页

上严格单调且在上可积，使得对

的任何分割

及

上可积知

，

在

在上有界. 设如果

则此时

结论显然成立。

上连续，

又由于在

上可积，故有界，又由导函数的达布

使得当

及任意分点

在

且

定理知没有第一类间断点，故

在

上连续. 从而一致连续，故存在

满

足

有

且