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一、证明题

1．

设

明

:

在

【答案】由于

在

上可积.

在

上连续，所以它在

时，有

因此作

事实上，从而

由此知，在

上，若

必有

故

这样，件的

必要性对上述的

和

分割

使得

于是由式(2) 知

最后由第三充要条件的充分性即知，

2． 证明：若

【答案】

由单调递增数列.

进一步，由由设

第 2 页，共 25 页

上连续

，

在上可积.

当时

，. 证

上一致连续，即

的分割之后，在

只要

上，若的振幅则

，必有

的振幅

先找使式(1) 成立. 再由在上的可积性，利用第三充要条

在上可积. 则数列

收敛，并求其极限.

，可推出

为严格

的构造，

知

得收敛.

所以

即

则有

单调递增且有上界，知

3． 设正项级数

(1

) (2

) 由

发散.

发散，

令求证：

【答案】(1) 把

及

用分点单调性，得

分成无限个小区间，在上，

从而

当

时，

即得结论.

因单调下降且趋于0,

及

发散. 所以

有

故由收敛原理知

发散.

使

于是对

故级数

(2) 方法一：

我们考虑级数

收敛，于是由第(1) 小题推出级数方法二：因对任意固定的

二、解答题

4． 求下列各函数的函数值：

【答案】⑴

(2)

(3)

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5． 试求心形线

【答案】所求平均值为

6． 计算

法向与z 轴正向成锐角.

【答案】应分成三个曲面积分进行计算，对于

因而积分对于

它在

平面上投影区域D 为

曲面侧的

由于曲面S 在

平面上的投影曲线

其中S 是柱面

在

和

的部分，曲面侧的

上各点极径的平均值。

曲面S 的方程为

法向与X 轴正向成锐角，是正侧，因此

对于面块

和

设投影区域也为

它在

上的投影区域为

曲面的侧为正侧；设

它在

上

曲面的侧是负侧，因此

7． 求下列曲线在第一象限围成的图像的面积，

【答案】设区域

那么在变换

下，区域

波 对应地映为

此时有

于是有

因此，所求面积为

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曲面S 的方程为它在平面上投影区域为曲面所指

定的侧有部分与y 轴正向夹角为锐角，有部分与y 轴正向的夹角为钝角，因而要将区域分成两曲