当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 设函数

在

上连续且恒大于零，按

当

定义，证明:时，有

在点当即可.

综上可知，

2．

设

在

求证：至少存在一点【答案】用反证法, 如果函数因为

在

点

在使

得

这与

点.

3． 设

上连续，所以

使得在

上没有零点，那么函数由题设条件知，

在是最小值相矛盾，所以函数

在内

存在在

上也没有零点，

，使

得

上至少有一个零

. 根据闭区间连续函数的性质，必存在最小值，即存

在[a, b]上连续. 上连续，对于区

间

中的每一个

点

总存在

.

使

得

(

或

处连续.

) 时，

只需将上面

改为

(或

)

在[a, b]上连续.

f (x ) 在[a, b]上有最小

值

【答案】因

为

在[a, b]上连续，所以

证明函数. 存在惟一的零点.

所以存在

使

所以f (x ) 在

则由f (x ) 显然

上单调

【答案】因为连续知，f (x ) 在.

递増，所以f (x ) 存在惟一的零点.

4． 设求证：

(1) 若(2) 若【答案】(1

)

由条件得

则由条件推出

之间至少存在一个零点. 又因

则f 为单射，g 为满射；

则f 与g 互为反函数. ，

即

使得即f 为单射.

故g 为满射

；

5． 用方法证明

:

【答案】则

因此，

当

时，便有

即

6． 证明曲线

【答案】设

上任一点的法线到原点距离等于a.

所对应的点为

则

法线斜率为

所以过点

的法线方程为

化简得

原点(0, 0) 到法线的距离

二、解答题

7． 设

【答案】

8． 求不定积分

【答案】注意到

设

由（1）式，则有

为由方程

所确定的可微隐函数，求gradz.

由此解得

9． 计算

【答案】补充平面

其中S 为曲面

被平面

方向向上. 有

而从而，

10．利用函数

•

所截部分的外侧.

求证明：（1）某系各班级推选学生代表，每5人推选1名代表，余额满3人

；可增选1名. 写出可推选代表y 与班级学生数x 之间的函数关系（假设每班学生数为30〜50人）（2）正数x 经四舍五入后得整数y , 写出y 与x 之间的函数关系.

【答案】 （1）（2）

11．计算：（1）数

准确到

【答案】（1）由

取

得

故

解得

取

得

（2）

准确到