当前位置：问答库＞考研试题

一、证明题

1． 证明：

若

【答案】

由于

有

已知因为 2． 设

【答案】

则.

证明f (x ，y ) 在D 上连续，但不一致连续.

由极限的四则运算法则知

所以f (x ，y ) 在点在D 中取两个点列

连续，从而f (x , y) 在D 上连续.

则

但

所以f (x , y) 在D 上不一致连续.

3． 设f 在

(2

)

连续，且对任何

第 2 页，共 40 页

在上可导，

且

对

有，

则

在上连续，从而在上有界，B 卩有

于是

故当

在点

左连续，所以

时有

即

从而

有证明：

(1) f 在R 上连续；

【答案】(1) 由得

并且对一切

可知

于是由f 在x=0连续可

故f 在R 上连续. (2) 对整数

有

所以

于是对任何有理数r 有上连续，有

4． 给定两正数

对任何无理数

故对任何

与

作出其等差中项

皆存在且相等.

可知

，所以

为单调递减，

与在有

当

积分在

若该积分在

时，关于单调递减，且当内一致收敛，则对

时一致收敛于0, 由狄利克雷判别法知该使得

因为

所以

当

时有

第 3 页，共 40 页

存在有理数列

与等比中项

使由f 在R

，一般的令

证明:与

【答案】由又因为因此，| 5． 证明

:任意正数.

【答案】由于

因而

为单调递增. 并且

对

皆存在且根等.

上一致收敛；在

即都是有界的. 根据

两边取极限，得

单调有界定理知

于是a=b, 即

的极限都存在.

设

内不一致收敛，其中与为

上一致收敛.

有

另一方面，

由于

，则

则

当

因而

时有

取

于是当

则

时，

若

矛盾，故原积分在

6． 证明：

内不一致收敛。

【答案】设

则

二、解答题

7． 讨论黎曼函数

【答案】（1）先证

在[0, 1]上无理点都连续. 设无理数

若X 为0，1或无理数，总有

若取

的，记为

在[0, 1]中既约分数的分母不大于n 的仅有有限个，选其中最接近于则当

时，有

（2）再证（0，1）上的有理点均为f （x ）的第二类间断点. 设有理数

使

再取有理数列

由

则使

所以

则

不存在. 即证

为f （x ）的第二类间断点.

取无理数列

在区间[0, 1]上的不连续点的类型.

（3）类似可证1不是f （x ）的左连续点. （4）可证0是f （x ）的右连续点.

第 4 页，共 40 页