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一、证明题

1． 设

为单调数列. 证明：

若则

0, 按聚点的定义，

于是

聚点，则必是惟一的。

假设在：

使

无界，则

的确界。

有聚点，必惟一，恰为

证明：

【答案】由拉格朗日中值定理知，

使得

因为上式右端大于0, 所以下面只需答:令

时，

当

原

不等式成立.

3． 设

是有界闭集

为E 的直径. 证明：存在1知，

对

则存在

使■

使得

则令

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存在聚点，则必是惟一的，且为

中含有无穷多个

的确界。

令

时

，存在

则当

【答案】

设是一个单调递増数列.

假设

中只能含有即任给

是它的两个不相等的聚点，

不妨设

中的点，设

中有穷多个点，这与是聚点矛盾. 因此，若存在正整数

当

时，

于是小于M 的只有由聚点定义，必存

有限项，因此不可能存在聚点，这与已知题设矛盾，

故

按上确界定义知综上，若 2． 设

有界. 对任给的

则

显然

是

在上的唯一驻点. 因为当

时

，

所以是的最大值点. 于是从而

而

【答案】

由

均为有界闭集E 中的点列，从而有收敛子列

得

，即

由于E 为闭集. 从而

4． 证明若

【答案】因为

则当且仅当A 为何值时反之也成立？

所以对任给的

存在时，也有

则对任意给

但

不存在，

使得当

时，

于是，对于得到的这个

当

故定的

因此

这是因为

5． 证明：若

均为区间Ⅰ上凸函数. 则存在

设

当且仅当A=0时，逆命题成立. 证明如下：如果使得当

对于函数

也是Ⅰ上凸函数。

及

时，有

有

即

【答案】因为均为区间I 上的凸函数，

所以对任意的总有

由于于是

因而

由式①〜式④得

即

故

是I 上的凸函数

二、解答题

6． 周期函数的原函数是否还是周期函数？

【答案】设因此，

是

的原函数，

且

也是周期函数。

7． 求下列函数在给定点的全微分：

【答案】(1) 因；由由：(2)

由

得

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在(0, 0) 连续，从而ZX 在(0, 0) 可微.

得

同理z 在(1，1) 可微，

在(1，0) ，(0，1) 处连续，从而z 在这两点处可微，由

由

得

8． 求函数及它们的模.

【答案】

在点及点：处的梯度以

于是

9． 证明施瓦茨不等式：若

和

在

上可积，则

【答案】

因为

所以

若

则即

故

10．判别下列函数项级数在所示区间上的一致收敛性：

(1

) (3

) (5

)

【答案】(1) 任意 上一致收敛. (2)

令设

的部分和为

则任意

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即

等式成立；若上式是关于t 的二次三项式，且非负，

于是有判别式

(2) (4)

(6) 因为

而级数

收敛，所以

在

又