2018年山西大学数学科学学院632数学分析考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设f （x ）在[-1, 1]上可积, 且在点x=0处连续设
证明
.
【答案】因为f （x ）在[-1, 1]上可积, 所以f （x ）在[-1, 1]上有界, 设界为M ,
即
.
|时,
有. 又因为f （x ）在x=0处连续, 所以当通过计算易知
为此, 将积分分为三段进行估计:
>
而
综上可知, 原结论成立. 2．
（1）（2）
【答案】（1）利用拉格朗日中值定理, 存在
求证:
使得
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, 因此, 欲证结论成立, 只需证
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（2）设所以
故有
3
． 设{an ）为实数列
, 它满足不等式
【答案】由条件
知
将以上各式乘2后相加得
因为级数同理
于是
, 故
4． 设级数
收敛，证明
也收敛.
收敛,
所以
. , 由迫敛性知
'
,
, 又级数
收敛. 证明:
结论得证.
, 则有
【答案】因为
第
3
页，
共
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又
及收敛，故收敛，所以由比较原则得收敛.
二、解答题
5
． 问下列积分是否可积（即原函数是初等函数）:
（1）
（2
）
, 由此可见,
由于（2）原式
由此可见
由于
6． 若
的收敛半径为
, 且
收敛
, 则
也收敛, 且
【答案】因为
所以
因为
,
且
收敛, 所以
在
上一致收敛, 故在[0, A]上可逐项积分, 因而
因而
收敛, 因此
上一致收敛, 由和函数的连续性知
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【答案】（1）原式
三个量都非整数, 从而原式不可积.
三个量都非整数, 从而原式不可积.
, 成立,
关于A 在
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