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一、证明题

1． 证明:由曲面S 所包围的立体V 的体积

为

,

其中【答案】因

故原公式成立.

2． 设

（1）因为（2）同理

3． 证明:

（1）若F 1, F 2为闭集, 则（2）若E 1, E 2为开集, 则（3）若F 为闭集, E 为开集, 则【答案】（1）设P 为于是也有

为闭集

.

故同理可证（2）设

即为开集,

为闭集. 也为闭集.

有

或

不妨设

因而F 1和F 2至少有一个集合含有

与与

都为闭集； 都为开集； 为闭集

为开集.

记（2）所以

证明:

为曲面S 的外法线方向余弦.

【答案】（1）由题意知

的聚点, 存在一个各点互不相同的收敛于P 的点列

中的无限多项, 不妨设

从而P 为F 1的聚点

.

则存在点A 的某邻域U （A ）使得

设使得

则有'

且

由于

也存在点B 的某邻域

其中

从而有使得

使得

, 因此

为开集.

为开集, 则存在点B 的某邻

因此, 存在点B 的邻域所以

为开集.

（3）若F 为闭集, E 为开集, F 为开集, E 为闭集. 又从而由（1）、（2）知

4． 已知

为闭集

为开集.

c c

, ,

都是可微的,

, 2. 证明:

【答案】因为

故原式成立.

二、解答题

5． 设

【答案】对于故

对于下和s , 由于可积.

6． 计算下列各题:

（1）（2）

, 所以s=0.由于

, 所以由定理知f （x ）在[0, 1]上不

’试求f 在[0, 1]上的上积分和下积分; 并由此判断f 在[0, 1]上是否可积. 的任意分割T , 在间

上,

, 所以有

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【答案】（1）原式

（2

）原式

7． 求下列函数在所指定区域D 内的平均值:

（1

）（2

）

【答案】

（1）由于D 的面积为, 所以, 的平均值

（2）由D 的体积为

, 令

, 得

, 所以

所以平均值

8．

（1）设级数

（2）讨论级数

在X 上一致收敛, 求证:级数的一般项

在x>0上的一致收敛性.

, 使得

即得

在X 上一致趋于零.

可知,

对任意固定的x 收敛. 但

因此根据（1）, 原级数在x>0上不一致收敛.

在X

上一致趋于零;

【答案】（1）由一致收敛原理, p>1, 有

（2）对固定的x>0, 由