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一、证明题

1． 证明:对于由上、下两条连续曲线平面图形A , 存在包含A 的多边形极限存在且相等.

【答案】设等分分割

取

于是,

分别取

与

相连构成多边形

在

上的每一段,

相连构成多边形包含A , A

包含

又因为

而

与

在

上连续, 因而可积, 且

因此

2． 证明:

若函数

上一致连续. 【答案】首先, 由存在正数于是, 对

, 得

当

总有

时, 有

知对

在

上连续,

且

其中b 为非零常数,

则

在

; 分别取

与

在

上的每一段,

因此

与

以及两条直线x=a与x=b

, 使得当

所围的

以及被A 包含的多边形

时, 它们的面积的

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其次, 由

在上连续, 知在上连续且一致连续.

于是, 对上述的存在,

时,

有

综上,

取

对

当

时,

与

事件至少一个发生.

于是, 总有即在

上一致连续.

3． 已知

试证

【答案】

4． 设f （x ）在[a, b]上二阶可导, 且

,

证明:

（1）

（2）又若,

, 则又有

.

【答案】由

知f （x ）为凸函数, 所以根据定理, 对[a, b]上任意两点x , t 有

（1）在（*

）式中令

, 得

在

[a,

b]上两边对

x 求定积分

, 得

故有

（2）（*）式两边在[a, b]上对t 定积分, 得

从而对任意的

, 有

*） （

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由即

, 可得. 故有

5． 设f 在[a, b]上连续, 且对任何

证明:存在最小值定理知,

若m=0, 则

, 使得

上连续可知,

在

上也连续. 由连续函数的最大、

, 存在

. 使得

【答案】由f （x ）在

在[a, b]上有最小值. 设这个最小值为, 命题得证.

, 使得

若m>0, 由题设知存在这与m

是

6． 证明:若

【答案】因

为时,

故定的

因此

是因为

存在

设

在[a, b]上的最小值矛盾. 于是m=0, 即存在则

, 使得

当且仅当A 为何值时反之也成立?

所以对任给

的

存

在时, 也有

则对任意给 但

不存在, 这

使得

当

于是, 对于得到的这个当

当且仅当使得当

对于函数

.

时, 逆命题成立. 证明如下:如果

时, 有

有

. 即

7． 设函数f 在区间（a , b ）内的各阶导数一致有界, 即存在正数M , 对一切

证明:对（a , b ）内任一点x 与x 0有

【答案】任意

依题意有

有

其中

介于与x 之间.

又f 在（a , b ）上的各阶导数一致有界, 故

从而

由定理得