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一、综合题

1． 现存在两个有限长序列而其线性卷积结果为（1）

中哪些点与

问： 相同；

和

完全相同。

（2）同样，根据循环卷积和线性卷积的关系以及题目给定的条件，进行27个点循环卷积就能保

证

2． 试证明用窗函数法设计FIR 滤波器时，对于所求的频率响应，矩形窗能提供一种最小均方误差意义下的最好的逼近。 【答案】令：

那么

表示将

后的

舍去后带来的总误差。此外，

可表示为：

式中，

产生的，假定：

且当

时

，

如果

是由对

截短所

和

完全相同。

和

其20点循环卷积结果为

（2）需要进行多少点循环卷积才能保证

【答案】（1）根据循环卷积和线性卷积的关系以及题目给定的条件，应有

根据上式由三角函数的正交性得

由于上式中每一项都是非负的，所以，

只有当小。当我们利用

其逼近误差为：

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时，才最

来近似时，欲使近似误差为最小，

的单位抽样响应必须是

的傅立叶系数。这也说明，有限项傅立叶级数是在最小平方意义上对原信号的最佳逼近，

M 越大，误差

越小（因为

值愈小）。

再乘以非矩形窗

后

，

已经不是在最小平方意义上对

但如果我们把截短后的

的最佳逼近了。

3． 设滤波器差分方程是：

分别用直接型两个一阶节的级联型结构实现之。 【答案】将

的差分方程两边取变换得：

直接型结构如图1所示：

图 1

两个一阶节的级联型结构如图2所示：

图 2

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4． 设线性时不变离散时间系统的差分方程如下：

其中响应。 【答案】已知

分别表示输出和输入序列。试求出该线性时不变系统的频率响应、幅值响应和相位线性时不变离散时间系统的差分方程为：

对上式差分方程取Z 变换得系统函数为：

由求得的系统函数可得： ①频率响应：

②幅值响应：

③相位响应：

5． 已知一有限长序列为{4, 3, 2，1，5, 6, 7, 8}，

（1）按DIF-FFT 计算序列的DFT ; （2）直接计算其8点DFT 。

【答案】（1）根据DIF-FFT 蝶形图计算，X （k ）各值如下图中标出（注意跟上题DIT-FFT 按时间抽取计算的 结果不同）：

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