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一、解答题

1．

已知矩阵可逆矩阵P ，使

和

若不相似则说明理由。

试判断矩阵A 和B 是否相似，若相似则求出

【答案】由矩阵A 的特征多项式

得到矩阵A

的特征值是当

时，由秩

知

有2个线性无关的解，即

时矩阵A 有2个线性无关的特征向量，矩阵

A 可以相似对角化，因此矩阵A 和B 不相似。

2． 已知A 是3阶矩阵

，是3维线性无关列向量，且

（Ⅰ）写出与A 相似的矩阵B ; （Ⅱ）求A 的特征值和特征向量：

（Ⅲ）求秩

【答案】（Ⅰ）由于

令

记

因

则有

线性无关，故P 可逆.

即A 与B 相似.

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（Ⅱ

）由

A 的特征值为-1, -1，-1.

对于矩阵B ，

由

得

所以

可知矩阵B 的特征值为-1, -1，-1, 故矩阵

得特征向量

那么由：

即

是A 的特征向量，于是A 属于特征值-1

的所有特征向量是

全为0.

（Ⅲ

）由

3．

已知方程组量依次是

（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ

）求【答案】

当a=-1及a=0时，方程组均有无穷多解。 当a=-l时，

则当g=0时，

则值的特征向量.

由

知

线性相关，不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征

的基础解系.

有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向

知

故

芄中

不

（Ⅱ

）

知

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的基础解系，

即为的特征向量

4． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与由

的解.

对

得到

所以矩阵

的基础解系为

则既可由

对

作初等行变换，有

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

其中t 为任意常数.

线性表出，也可

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

贝腕阵

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

线性表出，

故可设

于是

二、计算题

5．

设矩阵

【答案】先求x ，y :

因得y=l+x.

因由

再求正交阵P.

对应

解方程（A-5E ）x=0，由

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与相似，求x , y ; 并求一个正交阵P ，使

相似，故A 的特征值是5，-4，y , . 由特征值性质：

5+（-4）+y=A的特征值之和=A的对角元之和=2+x.

是A 的特征值，

有

得x=4.再代入y=l+x，得y=5.于是A

的特征值为