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一、解答题

1．

设

（1）计算行列式∣A ∣；

（2）当实数a 为何值时，

线性方程组【答案】

有无穷多解？并求其通解.

若要使得原线性方程组有无穷多解，

则有及得

此时，

原线性方程组增广矩阵为

进一步化为行最简形得

可知导出组的基础解系为

非齐次方程的特解为

故其通解为k 为任意常

数.

2． 已知A

是

矩阵，齐次方程组

的基础解系是

与

有非零公共解，求a 的值并求公共解.

知

的解.

对

贝腕阵

又知齐

次方程组Bx=0

的基础解系是

（Ⅰ）求矩阵A ;

（Ⅱ

）如果齐次线性方程组

【答案】（1

）记

A

的行向量）是齐次线性方程组

由

的列向量（即矩阵

作初等行变换，有

得到

所以矩阵

的基础解系为

（Ⅱ）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0

的非零公共解为由

对

线性表出，

故可设

作初等行变换，有

于是

则既可由

线性表出，也可

不全为

当a=0时，

解出

因此，Ax=0与Bx=0

的公共解为

3．

设三维列向量组

（Ⅱ）

当

【答案】（Ⅰ）由于4

个三维列向量全为0

的数

又向量组记

使得

线性无关；

向量组

则

构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，

线性无关，故

不全为0

,

即存在非零列向量

其中t 为任意常数.

线性无关.

和向量组

线性表示；

线性无关，

列向量组

（Ⅰ

）证明存在非零列向量

使得

可同时由向量组

时，

求出所有非零列向量

不全为0.

使得

可同时由向量组

和向量组向量

线性表示.

所有非零解，即可得所有非零

的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：

（Ⅱ）易知，

求出齐次线性方程组下面将方程组

于是，方程组的基础解系可选为

_意非零常数.

因此，

所有非零列向量

所有非零解

_

t 为任

4． 证明n

阶矩阵

与相似.

【答案】

设 分别求两个矩阵的特征值和特征向量为，

故A 的n 个特征值为

且A 是实对称矩阵，则其一定可以对角化，且