2018年浙江大学医学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 设B
是
（I
）证明（II
）证明（III
）若【答案】⑴
（II ）
（Ⅲ）设
则由
知
即
或1. 又存在可逆矩阵p ,
矩阵
且A 可对角化，
求行列式
逆
其中E 是n 阶单位矩阵.
使或1.
2．
已知
二次型的秩为
2.
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
3．
已知
对角矩阵.
【答案】A 是实对称矩阵
，
可得a=2.
此时
是二重根，
故
于是
必有两个线性无关的特征向量，
于是
知
是矩阵
的二重特征值，求a 的值，并求正交矩阵Q
使
为
解（2E-A ）x=0,
得特征向量将
正交化：
解（8E-A ）x=0，
得特征向量先
再将单位化，得正交矩阵：
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且有
4． 已知
A
是
矩阵，齐次方程组的基础解系是
与
有非零公共解，
求a 的值并求公共解.
知
的解.
对
贝腕阵
又知齐
次方程组Bx=0的基础解系是
（Ⅰ）求矩阵A ;
（Ⅱ
）如果齐次线性方程组
【答案】（1）记
A
的行向量）是齐次线性方程组
由
的列向量（即矩阵
作初等行变换，
有
得到所以矩阵
的基础解系为
（
Ⅱ
）设齐次线性方程组Ajc=0与Sx=0的非零公共解为
由
对
线性表出，故可设
作初等行变换，有
于是
则既可由
线性表出，也可
不全为
当a=0时，解出
因此，Ax=0与Bx=0的公共解为
其中t 为任意常数.
二、计算题
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