2018年浙江大学生命科学学院314数学(农)之工程数学—线性代数考研基础五套测试题
● 摘要
一、解答题
1．
已知三元二次型
（Ⅰ）用正交变换把此二次型化为标准形，并写出所用正交变换； （Ⅱ）若A+kE:五正定，求k 的取值. 【答案】（Ⅰ）因为A 各行元素之和均为0,
即值
，
由征向量.
因为
是
的特征向量.
是
1的线性无关的特
，由此可知
是A 的特征
其矩阵A 各行元素之和均为0, 且满足
其中
可知-1是A 的特征值
，不正交，将其正交化有
再单位化，可得
那么令
则有
（Ⅱ）因为A 的特征值为-1, -1, 0, 所以A+kE的特征值为k-l , k-1，k , 由A+kE正定知其特征值都大于0,
得
2．
设当a , b 为何值时，存在矩阵C 使得AC-CA=B，并求所有矩阵C.
【答案】显然由AC-CA=B可知，若C 存在，则必须是2阶的方阵，设则AC-CA=B
可变形为
即得到线性方程组
若要使C 存在，则此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下，
故当a=-1，b=0时，线性方程组有解，即存在矩阵C , 使得AC-CA=B. 此时
，
所以方程组的通解为
也就是满足AC-C4=B的矩阵C 为
其中为任意常数.
构
3． 求个齐次线件JTP
技使它的场础解系由下列向量成.
【答案】由题意，
设所求的方程组为
由这两个方程组知，
所设的方程组的系数都能满足方程组的基础解系为
4．
设三维列向量组
（Ⅱ）
当
将代入得，
解得此方程组
故所求的方程组可取为
线性无关.
和向量组
线性无关，
列向量组
（Ⅰ
）证明存在非零列向量
使得
可同时由向量组
线性表示；
时，
求出所有非零列向量
【答案】（Ⅰ）由于4
个三维列向量全为0
的数
又向量组记
和向量组向量
线性表示.
使得
线性无关；
向量组
则
构成的向量组一定线性相关，故存在一组不即，
线性无关，故
不全为0
,
即存在非零列向量
不全为0.
使得
可同时由向量组
所有非零解，即可得所有非零
的系数矩阵A 施行初等行变换化为行最简形：
（Ⅱ）易知，
求出齐次线性方程组下面将方程组
于是，方程组的基础解系可选为
_意非零常数.
因此，
所有非零列向量
所有非零解
_
t 为任
二、计算题
5．
设
证明【答案】因
故
也是方程Ax=b的解.
6． 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余列向量用最大无关组线性表示：
【答案】
⑴记
是非齐次线性方程组Ax=b的S 个解
，
也是它的解.
为实数，满足