2017年中国海洋大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、证明题
1 来自正态总体．对称, 且
【答案】记正态分布的样本中位数
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数
是偶函数, 从而
g x ）的密度函数（关于对称, 同时还有
与E
2． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
3． 设
证明:
为独立的随机变量序列, 且
服从大数定律.
所以由
由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
的独立性可得
【答案】因为
即A ，B 相容.
与
分别是标准正态分布N （0, 1）的分布函数与密度函数, 依据它们的性质
的容量为
f X ）, 则容量为n=2k+l的分布函数与密度函数分别为F （x ）与（
的样本中位数是
证明
的密度函数关于
4． 设随机变量X 与Y 相互独立且分别服从正态分布知参数且，
（II
）设（III ）证明故得X 的概率密度为
（II
）设
为样本
的观测值，则似然函数为
令故
的最大似然估计量为
解得
故
相互独立, 服从
证明:
【答案】令
, 则
再令
, 则
令
的无偏估计量。
相互独立, 且
服从
设Z=X-Y。
为来自总体Z 的简单随机样本，求的无偏估计量。
（I ）求Z 的概率密度
其中是未
的最大似然估计量；
【答案】（I ）由于X 与Y 相互独立，则Z=X-Y服从正态分布，且
（III
）由于
5． 设
所以变换的雅可比行列式为:
计算该行列式, 可得
因为,
把雅可比行列式代入上式可得
由此可知
6． 设
相互独立, 且
为来自指数分布
服从的样本，
为来自指数分布
的样本，且两组
样本独立，其中
（1）求假设
是未知的正参数.
的似然比检验；
（2）证明上述检验法的拒绝域仅依赖于比值（3）求统计量
在原假设成立下的分布.
【答案】样本的联合密度函数为
参数空间分别为
下参数的最大似然估计
为
则似然比统计量为
而
在
由微分法容易求出在
下参数的最大似然估计
为
由求导可知，函数为
或者
这就证明了（2）的结论.
为先减后増的单峰函数，故此似然比检验拒绝域可等价写
注意到指数分布、伽玛分布与卡方分布间的关系，可得
再注意到
诸
与
诸
间的独立性，在原假
设
成立下，有如下抽样分布：
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