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一、证明题

1． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明

：

【答案】由又因为所以得

2． 设

进一步由

得

是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，

在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？

（1）（2）（3）

【答案】先求三个统计量的数学期望，

这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为

不难看出

由此可推测。当用样本的凸组合

3． 设时,

从而

的有效性最差.

则

估计总体均值时，样本均值是最有效的。

试证明:当n 充分大

为一独立同分布的随机变量序列, 已知

近似服从正态分布, 并指出此正态分布的参数.

【答案】因为为独立同分布的随机变量序列, 所以

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也是独立同分布的随机变量序列.

根据林德伯格-莱维中心极限定理知, 近似服从正态分布, 其参数为

4． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证：上的均匀分布.

【答案】因为X 的密度函数为

又因为

，且的可能取值范围是（0，1）

所以

都服从区间（0，1）

是严格单调减函数，其反函数为

的密度函数为

即

又

由

知

也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.

5． 设总体的概率函数p （x ; θ）的费希尔信息量存在，若二阶导数证明费希尔信息量

【答案】记

则

所以

另一方面，

这就证明了

对一切的

存在，

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6． 设g （x ）为随机变量X 取值的集合上的非负不减函数，且E （g （X ））存在，证明：对任意的

有

【答案】仅对连续随机变量X 加以证明. 记p （x ）为X 的密度函数，则

7． 设

服从多项分布

其概率函数为：

其中即

其中

，i=l, ……k ,

.

记

并把这一分布记作

. 证明：的后验

为参数，

若

的先验分布为Dirichlet 分布，

分布为Dirichlet 分布

【答案】因为的后验概率函数为

所以的后验分布服从Dirichlet 分布

8． 设X 为非负连续随机变量，证明：对

，则有

【答案】设X 的密度函数为p （X ）

，其中

二、计算题

9． 对冷却到-0.72°C 的样品用A , B 两种测量方法测量其溶化到0°C 时的潜热，数据如下：

方法A :

方法B :

【答案】设两种方法测量的潜热分别记为X 和Y ,

并设

可用双样本t 检验，则检验的拒绝域为：

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. ）要检验

和

假设它们服从正态分布，方差相等，试检验：两种测量方法的平均性能是否相等？（取