2017年中国海洋大学数学科学学院432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． （格涅坚科大数定律）设
是随机变量序列, 若记
则
服从大数定律的充要条件是
【答案】先证充分性. 任对
注意到t>0时.
是增函数, 故当
因此有
所以当再证必要性.
设有
因为函数
时, 有
服从大数定律,
即
是增函数及
故则任对
服从大数定律.
存在N ,
当, 得
由于的任意性, 所以
2． 设
是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值的无偏估计，
时, 时, 有
在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？
（1）（2）（3）
【答案】先求三个统计量的数学期望，
这说明它们都是总体均值的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为
不难看出
由此可推测。当用样本的凸组合
3． 若
【答案】由
试证：
得
所以得
即
所以
即
由此得
即
4． 设P （A ）>0，试证：
【答案】因为
所以
则
从而的有效性最差.
估计总体均值时，样本均值是最有效的。
5． [1]如果
试证: （1）（2）[2]如果
【答案】（1
）因为
是直线上的连续函数, 试证:
时
,
可得
所以又有
取M 足够大（譬
如
时, 有
成立. ）, 使
有
,
故当
有
即
（2）先证
明
成立, 进一步由
. 对任意
的
成立, 对取定的M , 存在N , 当
这时有
从而有
由即[2]若对任意的
的任意性知
成立.
是m 次多项式函数, 即
取M 充分大,
使有于是有
对取定的M ,
因为
是连续函数,
所以可以用多项式函数去逼近
, 使得
当
所以存在
因为
并且在任意有限区
时,
有使当
间上还可以是一致的, 因而存在m 次多项
式
对取定的m 次多项式
时, 有
当
时, 有
同理可证由上面（1）得
则由题[1]知有
,
又选取
下证一般情况,
充分大,
使当
时,
有
又因为