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一、证明题

1． 设

为独立同分布的随机变量序列, 方差存在, 令

, 证明:则

服从大数定律.

对任意的

因而

证明有

所以由马尔可夫大数定律知

服从大数定律.

弱收敛于分布函数

且

存在充分大的M , 使有

对取定的h , 因为, 有

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又设, 有

为一列常数, 如果存在

常数c>0, 使得对一切n 有

【答案】不妨设

2． 设P （A ）=0.6，P （B ）=0.4，试证

【答案】

3． 设分布函数列

【答案】对任意的对取定的N , 存在因而存在

因此有

使当

使有时, 任对

和

都是连续、严格单调函数,

又设

关于x 是一致的,

服从（0, 1）上的均匀分布, 试证:

对取定的M , 可选取正整数k 和N , 使有

由

4． 设

也是一个分布函数.

【答案】为此要验证F （x ）具有分布函数的三个基本性质. （1）单调性. 因为于是

（2）有界性. 对任意的x ，有

且

（3）右连续性.

5． [1]设间为

[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：

表

试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.

【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本

均

，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的

括号里的事件等价于

因而得

其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式

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的任意性知结论得证.

都是分布函数，a 和b 是两个正常数，且a+b=l.证明：

都是分布函数，故当

时，有

置信区

是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似

，因而

分位数

可得

故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为可表示为

则有，

其中

这就证明了的近似

置信区间为

事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有

于是，的近似[2]平均月销售量

此处间为

若用较为精确的近似公式，所得置信区间为[11.0392, 12.9992], 二者相不大.

6． 设

是来自

的样本,

是来自

的样本, 两总体独立.c , d

较大，利用题[1]的结果，平均月销售量的近似0.95置信区

置信区间可进一步简化为

是任意两个不为0的常数, 证明

其中

【答案】由条件有

且

相互独立, 故

于是

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, 与分别是两个样本方差.