2017年中国矿业大学(徐州)理学院835概率论与数理统计考研题库
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量序列数, 并求出c.
【答案】因为
, 且
所以由切比雪夫不等式得, 任对即即
再由本节第3题知
有
独立同分布, 且
令
, 试证明:
其中（3为常
2． 设A ，B ，C 三事件相互独立，试证A —B 与C 独立.
【答案】因为
所以A-B 与C 独立.
3． 设随机变量
试证明: （1）（2）（3）【答案】（1）
（2）由（1）知, （3）由（2）
知
由此得
所以
因为X 与Y 相互独立, 所
以
,
, 且X 与Y 相互独立, 令
4． 设随机变量X 服从（1, 2）上的均匀分布, 在X=x的条件下, 随机变量Y 的条件分布是参数为x 的指数分布, 证明:XY 服从参数为1的指数分布.
【答案】因为令
则
的逆变换为
, 所以
此变换的雅可比行列式为
所以（U , V ）的联合密度函数为
由此得U=XY的边际密度函数为
这表明:U=XY服从参数为1的指数分布.
5． 设由
可建立一元线性回归方程，是由回归方程得到的拟合值，证
明：样本相关系数r 满足如下关系
上式也称为回归方程的决定系数. 【答案】因为
即
将之代入样本相关系数r 的表达式中，即有
证明完成.
6． 设总体
【答案】
由于总体
均方误差为
将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当
时，
最小. 且
这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计
是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合
下存在优于的估计. 现考虑形如
的估计类，其
所以
估计和无偏估计，试证明在均方误差准则
差.
7． 试验证:以下给出的两个不同的联合密度函数, 它们有相同的边际密度函数
.
【答案】因为当
时, 有
又因为当0 所以 有相同的边际密度函数. 8． 验证：正态总体方差（均值已知）的共轭先验分布是倒伽玛分布. 【答案】设总体玛分布 ，其密度函数为 则的后验分布为 ，其中已知， 为其样本，取 的先验分布为倒伽 即 值已知）的共轭先验分布. 这就证明了倒伽玛分布是正态总体方差（均
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