2018年中国矿业大学(徐州)矿业工程学院827数理统计之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设存在，且N 与
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
所以
2． 设
是来自
的样本，的密度函数为
已知，试证明，
是
于是
所以的费希尔信息量为
，这就是说
又
这就证明了
是
的有效估计，从而也是UMVUE.
的任一无偏估计的C 一R 下界为
，的有效估计，
从而也是UMVUE.
【答案】总体
3． 设为来自的i.i.d 样本，其中，样本的联合密度函数为
未知.
）.
证明关于假设【答案】记
的单侧t 检验是似然比检验（显著水平
两个参数空间分别为
利用微分法，在下而在
下
的MLE 为
分别为
的MLE.
于是似然比统计量为
在此时
为
时
，由于
，故只需考虑
的情形，
的单调增函数，故此时的似然比统计量是传统的t 统计量的增函数，
即此时的似然比检验等价于单侧的t 检验，拒绝域由t 检验的结论知，
4． 设总体X 的均值为凸线性无偏估计量. 证明:
【答案】由于其中
于是
而
故有
从而
方差为与
的相关系数为
为的线性无偏估计量，故
，这就完成了证明.
是来自该总体的一个样本，
为的任一
5． 设
是来自泊松分布
的样本，证明
在给定
是充分统计量. 后，对任意的
有
【答案】由泊松分布性质知
该条件分布与无关，因而
6．
设总体
【答案】令
，则
对上式求导易知，当
7． 设随机变量
【答案】
8． 设总体概率函数是对
的任一估计
令
人们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
注意到
，这说明
于是
因而
9． 若
，证明:对任一事件B , 有
，所以由单调性知
是充分统计量.
是样本
，的矩估计和最大似然估计都是
它也是的相
合估计和无偏估计，试证明在均方误差准则下存在优于的估计.
时上式达到最小，最小值为，试证明:
，它小于的均方误差.
是其样本，，证明
:
是的充分统计量，则
. 这说明，在均方误差准则下，
.
.
，从而得
，又
【答案】因为
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