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一、计算题

1． 设随机变量X 服从二项分布b （n , p ），试求X 的前四阶原点矩、中心矩、偏度与封度.

【答案】分几步进行.

（1）先求k 阶原点矩的递推公式. 记

显然有

. 而当k ≥ 1时有

（2）由此递推公式可导出前四阶原点矩

.

（3）再计算前四阶中心矩:

（4）最后计算偏度与峰度

由此可见:二项分布在p=l/2时是对称分布；当pl/2时，二项分布负偏

.

更细致的讨论会发现:①在区间

布比标准正态分布更平坦，譬如在p=0.5时，分布更乎坦；②在区间

正态分布更尖峭.

2． 设总体X 服从双参数指数分布，其分布函数为

其中

服从自由度为2的

【答案】令

则

为样本的次序统计量. 试证明，

分布

的联合密度为

作变换

外

，

内，

此时二项分

此时二项分布是对称的，且比标准正态

，此时二项分布比标准

其雅可比行列式为的联合密度为

是独立同分布的随机变量，且

从而

由该联合密度我们可以知道

这是指数分布这就证明了

的分布函数，我们知道，就是也就是

3． 设随机变量序列

令

独立同分布，其密度函数为

试证:

【答案】因为的分布函数为所以当对任意的即

时，有

. 当结论得证.

时，有

4． 设离散总体的分布列为

现进行不返回抽样，N 的函数）.

【答案】由于N 有限，抽样是不返回的，所以样本方差:

其中

代回原协方差表达式，可得

由此可得样本均值的期望与方差

5． 在单因子方差分析中，因子A 有三个水平，每个水平各做4次重复试验. 请完成下列方差分析表，并在显著性水平

下对因子A 是否显著作出检验.

表1方差分析表

为样本，为样本均值，求与（表示成

中诸的分布列与总体的分布列

相同，但诸Xi 间不相互独立，即此样本不是简单随机样本. 以下我们先求诸Xi 的期望、方差与协