2018年中国矿业大学(徐州)矿业工程学院827数理统计之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设
是来自
的样本，证明
为
没有无偏估计.
的无偏估计，则
由上式可知，等式的左边关于处处可导，而等式的右边在因此，假不成立，即
没有无偏估计.
处不存在导数.
【答案】（反证法）假设
2． 已知某商场一天来的顾客数X 服从参数为的泊松分布，而每个来到商场的顾客购物的概率为p , 证明:此商场一天内购物的顾客数服从参数为
的泊松分布.
【答案】用Y 表示商场一天内购物的顾客数，则由全概率公式知，对任意正整数k 有
这表明:Y 服从参数为
的泊松分布.
，证明:
【答案】
4． 设证明:统计量
【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故
仅在
且的反函数当
则
上取值，所以当为连续严增函数，则也存在. 于是
当
时，
的分布函数为
所以
这是由于y 仅在
当
上取值，
时，有
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从
3． 若事件A 与B 互不相容，且
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由
由（1）与（2）可知
5． 设随机变量序列数，并求出c.
【答案】因为
且
所以由切比雪夫不等式得，任对即再知即
6． 设为
【答案】由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，
此可作为枢轴量，对给定
利用标准正态分布的
分位数
括号里的事件等价于
. 因而得
其左侧的二次多项式二次项系数为正，故二次曲线开口向上，而其判别式
故此二次曲线与A 轴有两个交点，记为则有
，
分布函数，即
相互独立，
的相互独立性可导致
独立同分布，且令试证明:其中c 为常
有
是来自泊松分布
的样本，证明:当样本量n 较大时，
的近似
置信区间
，因而
可得
和，
其中和可表示为
这就证明了的近似置信区间为
事实上，上述近似区间是在n 比较大时使用的，此时有
于是，的近似
7． 设随机变量与
（1）（2）
【答案】（1）设所以当即所以当即（2）因为所以
所以由此得
所以
的联合密度函数为
这说明X 和Y 是相互独立的标准正态随机变量.
8． 设总体概率函数是对
的任一估计
令
人们只需要考虑基于充分统计量的估计.
【答案】我们将均方误差作如下分解
置信区间可进一步简化为
相互独立，且都服从和
则
的密度函数为则
的密度函数为
又因为
上的均匀分布，试证明:
是相互独立的标准正态随机变量.
时，
又设时，
是其样本，，证明
:
是的充分统计量，则
. 这说明，在均方误差准则下，
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