2018年中国矿业大学(徐州)矿业工程学院827数理统计之概率论与数理统计考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 来自正态总体于对称，
且
【答案】记正态分布则容量为
的样本中位数
的分布函数与密度函数分别为
的密度函数为
令
此变换的雅可比行列式的绝对值
于是y 的密度函数为
其中可得
这表明密度函数同时还有
2． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
相互独立知,
也相互独立,
所以
时,
分别为样本的均值
与
是偶函数，从而
的密度函数
关于
对称，
与
分别是标准正态分布
的分布函数与密度函数，依据它们的性质
与
的容量为
的样本中位数是
证明
的密度函数关
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
所以
由此证得（2）由
由于
, 所以
知从而将①, ②代入
可得
① ②
与
相互独立知,
与
也相互独立, 从而
①此外, 由
从而得到目的最大似然估计量为
3． 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
4． 设
【答案】若
证明
:
服从大数定律.
服从贝塔分布，并指出其参数.
则X 的密度函数为
. 又设
有
为一列常数，如果存
【答案】不妨设
由其反函数为
上是严格单调增函数，
的密度函数为
整理得
这说明Z 服从贝塔分布
5． 设二维随机变量
服从二元正态分布，其均值向量为零向量，协方差阵为
是来自该总体的样本，
证明:二维统计量
【答案】该二元正态分布的密度函数为
此处，
故
从而
注意到
上式可化解为
于是样本的联合密度函数为
其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
是该二元正态分布族的充分统计量.
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