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一、解答题

1． 设

【答案】

2． 求下列全微分的原函数:

（1）（2）（2）由于

故原函数为

3． 设

其中f （x ）为可微函数, 求

.

在定义区域内连续, 所以

同理

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, 试按h , k , 1的正数幕展开

【答案】（1）因d （xyz ） =yzdx+xzdy+xydz, 故原函数为u （x , y , z ） =xyz+C

【答案】由于函数（x —yz ） f （z ）与

4． 求空间曲线

【答案】将

代人参数方程得

在P c （对应）处的切线方程和法平面方程.

该曲线的切向量为

由此得切线方程为

法平面方程为

即

5． 求函数

【答案】设

令

解得

依题意, 相当于求n 维空间中原点到超平面

的最短距离. 由几何学知, 最短距离存在,

在条件

下的最小值.

而稳定点只有一个, 故一定在惟一稳定点处取得最小值, 故

6． 求由下列曲面所围立体V 的体积:（1） V 是由

（2） V 是由曲面【答案】（1）由故体积

这里应用变换（2）由立体的顶面为

, 得

. 所以立体V 在xOy 平面上的投影为D :底面为

. 则体积

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和z=x+y所围的立体;

和和z=x+y得.

所围的立体.

, 因此积分区域

.

令

得且, 所以

二、证明题

7． 设y=f（u ）在[A, B]上连续,

证明:

,

当

因此作[a, b]的分割之后, 在则只要从而

由此知, 在

上, 若

必有

, 故

这样,

条件的

必要性对上述的

和>0, 分割T , 使得

于是由式（2）知

最后由第三充要条件的充分性即知, F （x ）在[a, b]上可积. 8． 设

, 证明:

【答案】由拉格朗日中值定理知,

, 使得

因为上式右端大于0, 所以f （b ）-f （a ）>0 下面只需证明:

.

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在[a, b]上可积. 当时, .

在[a, b]上可积.

,

上, 若事实上,

必有

的振幅

,

,

的振幅

时, 有

【答案】由于f （u ）在[A, B]上连续, 所以它在[A, B]上一致连续, 即

, 先找使式（1）成立. 再由在[a, b]上的可积性, 利用第三充要