2017年西安财经学院统计学院802西方经济学与统计学之概率论与数理统计教程考研冲刺密押题
● 摘要
一、证明题
1． 设
为独立随机变量序列, 且
证明:
服从大数定律.
相互独立, 且服从大数定律.
为取自此总体的次序统计量,
设
由此可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
2． 设总体X 的分布函数F （x ）是连续的,
试证:
（1）（2）
（3）和的协方差矩阵为
其中
成立.
且是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量:
【答案】因为
【答案】（1）由分布函数F （x ）的单调性可知, （0, 1）总体的次序统计量；
（2）是来自均匀分布U （0, 1）总体的次序统计量, 所以, 故
（3）和的联合分布函数为:
又由分布函数F （x ）的连续性可知, F （X ）服从均匀分布U （0, 1）, 故而^是来自均匀分布U
则
所以,
结合（2）可知, 和的协方差矩阵为:
3． 设不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
即
将（*）式两端对求导，并注意到
有
这说明
由此可以得到则
从而，进一步，
为的UMVUE.
C-R 下界为
求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它
我们将（**）式的两端再对H 求导，得
记
故此UMVUE 的方差达不到C-R
不等式的下界.
4． 证明
：
【答案】不妨设另一方面，还有
综合上述两方面，可得
5． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
6． 设随机变量X 服从参数为2的指数分布，试证
：上的均匀分布.
【答案】因为X 的密度函数为
又因为
，且的可能取值范围是（0，1）
所以
是严格单调减函数，其反函数为
的密度函数为
即
7． 设随机变量序列
独立同分布, 其密度函数为
试证:
【答案】因为当x<0时,
有
当
时,
有
而当
时, 有
其中常数
, 令
又
由
知
都服从区间（0，1）
又由（1）知
知
所以有
则
也服从区间（0，1）上的均匀分布. 结论得证.
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