2017年武汉科技大学管理学院831概率论与数理统计考研强化模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设随机变量X 服从参数为X 的泊松分布，试证明：算
【答案】
由此得
2． 设
是总体
的简单随机样本，
记
（I ）证明T 是（II ）当【答案】（I ）
的无偏估计量； 时，求DT 。
故T 是
的无偏估计量。（II ）当
3． 试证随机变量X 的偏度系数与峰度系数对位移和改变比例尺是不变的，
即对任意的实数
与X 有相同的偏度系数与峰度系数.
【答案】因为j
所以
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利用此结果计
时，
即Y 与X 有相同的偏度系数. 又因为
所以Y 与X 有相同的峰度系数.
4． 试用特征函数的方法证明二项分布的可加性:若随机变量独立, 则
【答案】记这正是二项分布
因为
的特征函数, 由唯一性定理知
, 且X 与Y
所以由X 与Y 的独立性得
5． 设以下所涉及的数学期望均存在, 试证:
（1）（2）（3）
【答案】（1）由（2）因为（3）
又由（1）知
知
所以有
6． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得 7． 设计.
【答案】由于
这就证明了
，是的相合估计.
独立同分布，
，证明：
是的相合估
进一步由
得
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8． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
9． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.
【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以
10．[1]设间为
[2]某商店某种商品的月销售量服从泊松分布，为合理进货，必须了解销售情况. 现记录了该商店过去的一些销售量，数据如下表：
表
试求平均月销售量的置信水平为0.95的置信区间.
【答案】[1]由中心极限定理知，当样本量n 较大时，样本
均
，此可作为枢轴量，对给定利用标准正态分布的
括号里的事件等价于
因而得
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，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
即A ，B 相容.
置信区
是来自泊松分布P （λ）的样本，证明：当样本量n 较大时，的近似
，因而
分位数
可得
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