2017年西安财经学院统计学院801统计学之概率论与数理统计教程考研强化模拟题
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一、证明题
1． 设
是来自正态分布
的样本, 证明,
在给定
是充分统计量. 的条件密度函数为
【答案】由条件,
它与
无关, 从而
是充分统计量.
2． 在回归分析计算中，常对数据进行变换：
其中
平方和之间的关系；
（2）证明：由原始数据和变换后数据得到的F 检验统计量的值保持不变. 【答案】（1）经变换后，各平方和的表达式如下：
所以由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计间的关系为
是适当选取的常数.
（1）试建立由原始数据和变换后数据得到的最小二乘估计、总平方和、回归平方和以及残差
在实际应用中，人们往往先由变换后的数据求出
然后再据此给出
总平方和、回归平方和以及残差平方和分别为
（2）由（1）的结果我们知道
即说明了由原始数据和变换后
它们的关系为
数据得到的F 检验统计量的值保持不变.
3． 设求的UMVUE. 证明此UMVUE 达不到C-R 不等式的下界，即它不是有效估计.
【答案】设
是0的任一无偏估计，则
即
将（*）式两端对求导，并注意到
有
这说明
由此可以得到则
从而，进一步，
为的UMVUE.
C-R 下界为
我们将（**）式的两端再对H 求导，得
记
故此UMVUE 的方差达不到C-R
不等式的下界.
4． 设X 〜N （0, 1）, Y 各以0.5的概率取值±1, 且假定X 与Y 相互独立. 令
（1）
（2）X 与Z 既不相关也不独立. 【答案】（1）由全概率公式可得
所以Z 〜N （0, 1）.
（2）因为E （X ）=0, E （Y ）=0, 且X 与Y 相互独立, 所以
证明:
所以X 与Z 不相关. 为证明X 与Z 是不独立的, 我们考查如下特定事件的概率, 且对其使用全概率公式
考虑到而
5． 设
所以
故有
即X 与Z 不独立.
是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为
（1）求此分布的充分统计量；
（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题
的拒绝域；
（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为
由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到